Nicki:Jaja, Integralrechnung... vielleicht weiß ja jemand von euch weiter
Gesucht ist die Fläche die von
x²+y²=4;
x²+y²=9;
x²-y²=1;
x²-y²=4
begrenzt wird.
Das dürften ja die vier (hoffentlich erkennbaren
) verbogenen Vierecke sein, da die gleich groß sind reicht es imho, eins exemplarisch zu berechnen.
Die Eckpunkte habe ich gefunden, die Integrationsgrenzen in y-Richtung auch (0 und sqrt(5)).
Nur bekomme ich ja für das x unterschiedliche Abhängigkeiten vom y, je nachdem auf welcher Seite von sqrt(3/2) bzw. sqrt(5/2) es liegt. Ich habe gerade keine Idee wie ich daraus eine Integrationsgrenze für x bastele
Hallo Nicki,
ist alles halb so wild. Siehe Skizze:
Zuerst die vier Schnittpunkte berechnen, hast Du ja auch schon. Ich habe deine Rechnung jetzt nicht bis ins Detail verfolgt, entscheidend ist ja erstmal der Weg. Das kleine Viereck wird von den 4 verschiedenen y-Werten in drei Bereiche unterteilt, in denen x jeweils ohne Unterbrechung von einer der Kurven begrenzt wird. Also wird das gesamte Integral in diese drei Bereiche unterteilt, so daß man für x jeweils eine der Formeln als Ober- und Untergrenze erhält. Der Rest ist Handwerk, wie man als Mathematiker so schön sagt. Die Details folgen, wollte nur schnell wenigstens den Weg erläutern.
Gruß, Stefan.
Edit:Ich habe die Integrale mal ein wenig zusammengefaßt, die Stammfunktionen nachgeschaut (ich hätte sie auch berechnen können, bin aber gerade zu faul dazu) und alles eingesetzt:
An dieser Stelle ist jetzt der Taschenrechner gefragt. Man beachte den Unterschied zwischen inverser Sinus-Funktion "arcsin" und inverser Hyperbel-Sinusfunktion "arsinh". Natürlich auch (immer!!!) sehr gut auf die Vorzeichen achten!
Etwas eleganter, dafür aber undurchschaubarer, wäre die Rechnung geworden, wenn man eine zweidimensionale Substitution durchgeführt hätte!
Wenn Du noch Fragen hast, immer raus damit. Gerne auch per PM.
Gruß 2, Stefan.
Zuletzt bearbeitet: 22.05.13 18:53 von epsilon